Question

定义在全体实数上的奇函数f(x)=a-

1

2x+1

，要使f^-1（x）＜1，x的取值范围是（　　）

• A．(-

  1

  2

  ，

  1

  6

  )
• B．(

  1

  2

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  1

  2

  )
• D．(

  1

  6

  ，+∞)

Answer 1

分析：根据定义在R上的奇函数图象必过原点，易求出a值，得到函数的解析式，进而根据f^-1（x）＜1时，x的取值范围即为x＜1时，函数f（x）的值域，利用分析法，求出函数值域即可．

解答：解：∵f(x)=a-

1

2x+1

是定义在R上的奇函数
∴f(0)=a-

1

2

=0，即a=

1

2

∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

∵x＜1时，0＜2^x＜2
∴1＜2^x+1＜3
∴

1

3

＜

1

2x+1

＜1
∴-1＜-

1

2x+1

＜-

1

3

∴-

1

2

＜

1

2

-

1

2x+1

＜

1

6

函数f(x)=

1

2

-

1

2x+1

的在（1，+∞）上的值域为(-

1

2

，

1

6

)
又由使f^-1（x）＜1，x的取值范围
即为f（x）在（1，+∞）上的值域
所以f^-1（x）＜1时x的取值范围(-

1

2

，

1

6

)
故选A

点评：本题考查的知识点是奇函数的性质，反函数，其中分析出f^-1（x）＜1时，x的取值范围即为x＜1时，函数f（x）的值域是解答的关键．