Question

已知f（x）=2ax+4lnx在x=1与x=都取得极值．
（1）求a、b；
（2）若对x∈[，e]时，f（x）≥c取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=2a++，
∵f（x）=2ax+4lnx在x=1与x=处都取得极值，
∴f′（1）=0，f′（）=0，
∴，解得a=，b=-1，
经检验符合题意；
（2）由（1）可知f（x）=-3x++4lnx，
f^′′（x）=-3-+=-，
由f′（x）≥0，得f（x）的单调增区间为[，1]，
由f′（x）≤0，得f（x）的单调减区间为（0，]和[1，+∞），
当x∈[，e]时，f（）=e-4-，f（e）=+4-3e，
而f（）-f（e）=4e-8-＞0，
所以f（）＞f（e），即f（x）在[，e]上的最小值为，
要使对x时，f（x）≥c恒成立，必须c≤．
分析：（1）求导数f′（x），由f（x）在x=1与x=处取得极值得f^′′（1）=0，f^′′（）=0，从而得到方程组，解出a，b再加以检验；
（2）利用导数求出f（x）的单调区间，结合图象通过作差比较出f（x）在[，e]上的最小值，则f（x）≥c恒成立等价于f（x）_min≥c；
点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数在某点取得极值的条件，考查恒成立问题的处理，转化为求函数最值是解决恒成立问题的常用方法．