Question

18．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为4，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点O，连结AO，B₁O，由已知得AO⊥BC，从而AO⊥面BCC₁B₁，再推财导出BD⊥AO，BD⊥B₁O，从而得到AB₁⊥BD，由正方形性质得BD⊥B₁O，由此能证明AB₁⊥平面A₁BD．
（Ⅱ）由AO⊥平面BCC₁B₁，得∠AB₁O是直线AB₁与平面BCC₁B₁所成的角，由此能求出直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）如图，取BC中点O，连结AO，B₁O，
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，
∵正三角形ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
且面ABC∩面BCC₁B₁=BC，∴AO⊥面BCC₁B₁，
∵BD?面BCC₁B₁，∴BD⊥AO，
在正方形BB₁C₁C中，O，D分别为BC、CC₁的中点，∴BD⊥B₁O，
∵AO∩B₁O=O，AO、B₁O?面AB₁O，∴BD⊥面AB₁O，
又AB₁?面AB₁O，∴AB₁⊥BD，
在正方形BB₁C₁C中，O、D分别为BC、CC₁的中点，∴BD⊥B₁O，
∵AO∩B₁O=O，AO，B₁O?面AB₁O，∴BD⊥面AB₁O，
又AB₁?面AB₁O，∴AB₁⊥BD，
又BD∩A₁B=B，AB₁⊥平面A₁BD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AO⊥平面BCC₁B₁，
∴OB₁是直线AB₁在平面BCC₁B₁内的射影，
∴∠AB₁O是直线AB₁与平面BCC₁B₁所成的角，
∵AO=$\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴sin∠AB₁O=$\frac{AO}{A{B}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．