Question

5．已知圆O：x²+y²=4，点A为圆O与x轴正半轴交点，过点B（-4，0）的直线与圆O交于P、Q两点（不同于点A），则S_△APQ的最大值为3．

Answer 1

分析 设直线方程为y=k（x+4），与圆的方程联立，求出|PQ|，A到直线的距离，表示出面积，换元，配方，即可得出结论．

解答 解：设直线方程为y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
与圆的方程联立，可得（1+k²）x²+8k²x+16k²-4=0，
∴|PQ|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（-\frac{8{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{16{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{16-48{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
A到直线的距离d=$\frac{|6k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△APQ=12$\sqrt{\frac{{k}^{2}-3{k}^{4}}{（{k}^{2}+1）^{2}}}$，
设1+k²=t（t＞1），S_△APQ=12$\sqrt{-4（\frac{1}{t}-\frac{7}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∴t=$\frac{8}{7}$时，S_△APQ的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．