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(2013•虹口区二模)已知复数zn=an+bn•i,其中an∈R,bn∈R,n∈N*,i是虚数单位,且zn+1=2zn+
.
zn
+2i
,z1=1+i.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求和:①z1+z2+…+zn;②a1b1+a2b2+…+anbn
分析:(1)由zn=an+bn•i,取n=1后得到z1=a1+b1•i,结合已知条件求出a1,b1.再由zn+1=2zn+
.
zn
+2i

把zn=an+bn•i代入后由复数相等可得数列{an},{bn}分别为等比数列和等差数列,则数列{an},{bn}的通项公式可求;
(2)①直接由等比数列和等差数列的前n项和公式化简,②由错位相减法进行求解.
解答:解:(1)∵z1=a1+b1•i=1+i,∴a1=1,b1=1.
zn+1=2zn+
.
zn
+2i
,得an+1+bn+1•i=2(an+bn•i)+(an-bn•i)+2i=3an+(bn+2)•i,
an+1=3an
bn+1=bn+2

∴数列{an}是以1为首项公比为3的等比数列,数列{bn}是以1为首项公差为2的等差数列,
an=3n-1,bn=2n-1;
(2)由(1)知an=3n-1,bn=2n-1.
①z1+z2+…+zn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)•i
=(1+31+32+…+3n-1)+(1+3+5+••+2n-1)•i
=
1
2
(3n-1)+n2•i

②令Sn=a1b1+a2b2+…+anbnSn=1+3•3+32•5+…+3n-1•(2n-1)(Ⅰ)
将(Ⅰ)式两边乘以3得,3Sn=3•1+32•3+33•5+…+3n•(2n-1)(Ⅱ)
将(Ⅰ)减(Ⅱ)得-2Sn=1+2•3+2•32+2•33+…+2•3n-1-3n•(2n-1)
-2Sn=-2+3n(-2n+2)
所以Sn=(n-1)•3n+1
点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,考查了等差关系和等比关系的确定,考查了数列的和,由等差数列和等比数列的积构成的数列,求和的方法是错位相减法.是中档题.
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2
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M1M13
|
等于(  )

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