Question

（2013•虹口区二模）已知复数z_n=a_n+b_n•i，其中a_n∈R，b_n∈R，n∈N^*，i是虚数单位，且zn+1=2zn+

.

zn

+2i，z₁=1+i．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求和：①z₁+z₂+…+z_n；②a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

分析：（1）由z_n=a_n+b_n•i，取n=1后得到z₁=a₁+b₁•i，结合已知条件求出a₁，b₁．再由zn+1=2zn+

.

zn

+2i，
把z_n=a_n+b_n•i代入后由复数相等可得数列{a_n}，{b_n}分别为等比数列和等差数列，则数列{a_n}，{b_n}的通项公式可求；
（2）①直接由等比数列和等差数列的前n项和公式化简，②由错位相减法进行求解．

解答：解：（1）∵z₁=a₁+b₁•i=1+i，∴a₁=1，b₁=1．
由zn+1=2zn+

.

zn

+2i，得a_n+1+b_n+1•i=2（a_n+b_n•i）+（a_n-b_n•i）+2i=3a_n+（b_n+2）•i，
∴

an+1=3an bn+1=bn+2

，
∴数列{a_n}是以1为首项公比为3的等比数列，数列{b_n}是以1为首项公差为2的等差数列，
∴an=3n-1，b_n=2n-1；
（2）由（1）知an=3n-1，b_n=2n-1．
①z₁+z₂+…+z_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）•i
=（1+3¹+3²+…+3^n-1）+（1+3+5+••+2n-1）•i
=

1

2

(3n-1)+n2•i．
②令S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，Sn=1+3•3+32•5+…+3n-1•(2n-1)（Ⅰ）
将（Ⅰ）式两边乘以3得，3Sn=3•1+32•3+33•5+…+3n•(2n-1)（Ⅱ）
将（Ⅰ）减（Ⅱ）得-2Sn=1+2•3+2•32+2•33+…+2•3n-1-3n•(2n-1)．
∴-2Sn=-2+3n(-2n+2)，
所以Sn=(n-1)•3n+1．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了等差关系和等比关系的确定，考查了数列的和，由等差数列和等比数列的积构成的数列，求和的方法是错位相减法．是中档题．