Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
（Ⅰ）求证：PD⊥BC；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证BC⊥PD，先证BC⊥平面PCD，根据两平面垂直的性质定理可知平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD，即可证得BC⊥平面PCD；
（Ⅱ）取PD的中点E，连接CE、BE，根据二面角平面角的定义可知∠CEB为二面角B-PD-C的平面角，在Rt△CEB中求出此角的正切值即可；
（Ⅲ）过D作DF⊥PC于F，则DF为点D到平面PBC的距离，在等边△PCD中求出DF即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，
又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，（3分）
∵PD?平面PCD，∴BC⊥PD；（4分）

（Ⅱ）解：取PD的中点E，连接CE、BE，
∵△PCD为正三角形，∴CE⊥PD，
由（Ⅰ）知BC⊥平面PCD，∴CE是BE在平面PCD内的射影，
∴BE⊥PD，∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角，（7分）
在△CEB中，∠BCE=90°，BC=2，CE=

3

，∴tan∠CEB=

BC

CE

=

2 3

3

，
∴二面角B-PD-C的大小为arctan

2 3

3

；（10分）

（Ⅲ）解：∵底面ABCD为正方形，∴AD∥BC，
∵BC?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，∴点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，
过D作DF⊥PC于F，∵BC⊥平面PCD，∴BC⊥DF，∵PC∩BC=C，
∴DF⊥平面PBC，且DF∩平面PBC=F，∴DF为点D到平面PBC的距离，（13分）
在等边△PCD中，DC=2，DF⊥PC，∴CF=1， DF=

DC2-CF2

=

3

，
∴点A到平面PBC的距离等于

3

．（14分）

点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及平面与平面垂直的性质和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．