Question

10．已知f₁（x）=sin x+cos x，记f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*，n≥2），则f₁（$\frac{π}{2}$）+f₂（$\frac{π}{2}$）+…+f₂₀₁₇（$\frac{π}{2}$）=1．

Answer 1

分析 根据题意，先求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），观察所求的结果，归纳其中的周期性规律，求解即可．

解答 解：根据题意，f₁（x）=sin x+cos x，
f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，
f₅（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
则f₁（$\frac{π}{2}$）+f₂（$\frac{π}{2}$）+…+f₂₀₁₇（$\frac{π}{2}$）=f₁（$\frac{π}{2}$）=1；
故答案为：1．

点评 本题考查导数的计算，关键是通过计算导数，发现变形的规律．