Question

（2007•奉贤区一模）已知关于x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}
（1）求实数m和n的值
（2）求不等式log_a（-nx²+3x+2-m）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）由题意得：n和5是方程x²-4x-m=0的两个根结合根与系数的关系即可求得实数m和n的值；
（2）首先对a进行分类讨论：1°当a＞1时，函数y=log_ax在定义域内单调递增；2°当0＜a＜1时，函数 y=log_ax在定义域内单调递减，分别求得它们的解集，最后综合得出：当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），当0＜a＜1时原不等式的解集为：（-4

-3- 21

2

）∪

-3+ 21

2

，1）．

解答：解：（1）由题意得：n和5是方程x²-4x-m=0的两个根（2分）
  

n+5=4 5n=-m

 （3分）

n=-1 m=5

（1分）
（2）1°当a＞1时，函数y=log_ax在定义域内单调递增
由log_a（-nx²+3x+2-m）＞0
得x²+3x-3＞1（2分）
即 x²+3x-4＞0
x＞1 或  x＜-4（1分）
2°当0＜a＜1时，函数 y=log_ax在定义域内单调递减
由：log_a（-nx²+3x+2-m）＞0
得：

x 2+3x-3＜1 x 2+3x-3＞0

 （2分）
即

-4＜x＜1 x＜ -3- 21 2 或x＞ -3+ 21 2

（1分）
-4＜

-3- 21

2

 或  

-3+ 21

2

＜x＜1（1分）
∴当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），
当0＜a＜1时原不等式的解集为：（-4

-3- 21

2

）∪

-3+ 21

2

，1）（1分）

点评：本小题主要考查对数函数的单调性与特殊点、一元二次不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．