Question

(10分) 已知数列{a_n}的前n项和S_n＝10n－n²，(n∈N^*)．

(1)求a₁和a_n；

(2)记b_n＝|a_n|，求数列{b_n}的前n项和．

 

Answer 1

【答案】

(1) a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．(2) T_n＝

【解析】本题考查数列前n项和与通项公式的应用，考查转化思想与计算能力

由S_n=10n-n²知S_n是关于n的无常数项的二次函数（n∈N^*），可知{a_n}为等差数列，求出a_n，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，然后求解T_n．

(1)∵S_n＝10n－n²，∴a₁＝S₁＝10－1＝9.

∵S_n＝10n－n²，当n≥2，n∈N^*时，

S_n－1＝10(n－1)－(n－1)²＝10n－n²＋2n－11，

∴a_n＝S_n－S_n－1＝(10n－n²)－(10n－n²＋2n－11)

＝－2n＋11.

又n＝1时，a₁＝9＝－2×1＋11，符合上式．

则数列{a_n}的通项公式为a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．

(2)∵a_n＝－2n＋11，∴b_n＝|a_n|＝

设数列{b_n}的前n项和为T_n，

n≤5时，T_n＝＝10n－n²；

n>5时T_n＝T₅＋＝25＋＝25＋(n－5)²＝n²－10n＋50，

∴数列{b_n}的前n项和T_n＝