Question

【题目】数列{an}是公差d不为0的等差数列，a1=2，Sn为其前n项和．
（1）当a3=6时，若a1 ， a3 ， ， …， 成等比数列（其中3＜n1＜n2＜…＜nk），求nk的表达式；
（2）是否存在合适的公差d，使得{an}的任意前3n项中，前n项的和与后n项的和的比值等于定常数？求出d，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：数列{an}的公差d= = =2．

∴an=2+2（n﹣1）=2n，

另一方面，a1，a3， ， …， 成等比数列（其中3＜n1＜n2＜…＜nk），

∴q= =3．

∴ ═a13k+2﹣1=2nk，

∴nk=3k+1．

（2）解：等差数列{an}中，Sn=na1+ = n2+ n，

S3n﹣S2n= ﹣ = n2+ ，

令S3n﹣S2n=λSn，则 n2+ =λ[ n2+ n]，

∴ ，解得 或 （舍去）．

∴d=4，满足题意，且定 常数为5

【解析】（1）数列{an}的公差d= ，可得：an=2n．另一方面，a1 ， a3 ， ， …， 成等比数列（其中3＜n1＜n2＜…＜nk），可得q= ．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）等差数列{an}中，Sn= n2+ n，可得S3n﹣S2n ， 令S3n﹣S2n=λSn ， 解出即可得出．
【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．