Question

在一次口试中，要从10道题中随机抽出6道题进行回答，至少答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就获得及格．若某考生能够答对10道题中的6道题．
（Ⅰ）求他获得优秀的概率；
（Ⅱ）求他获得“及格和及格以上”的概率；
（Ⅲ）设X为该生答对题目的个数，求X的分布列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）所有的抽法共有

C

6 10

种，他获得优秀的抽法有

C

6 6

+

C

5 6

•

C

1 4

种，由此求得他获得优秀的概率．
（Ⅱ）所有的抽法共有

C

6 10

种，他获得“及格和及格以上”的抽法有

C

6 6

+

C

5 6

•

C

1 4

+

C

4 6

•

C

2 4

种，由此求得他获得“及格和及格以上”的概率．
（Ⅲ）设X为该生答对题目的个数，则X=2，3，4，5，6，再求出X取每个值的概率，即可求得X的分布列．

解答：解：（Ⅰ）所有的抽法共有

C

6 10

=210 种，他获得优秀的抽法有

C

6 6

+

C

5 6

•

C

1 4

=25种，
故他获得优秀的概率为

25

210

=

5

42

．
（Ⅱ）他获得“及格和及格以上”的抽法有

C

6 6

+

C

5 6

•

C

1 4

+

C

4 6

•

C

2 4

=115种，
他获得“及格和及格以上”的概率为

115

210

=

23

42

．
（Ⅲ）设X为该生答对题目的个数，则X=2，3，4，5，6，
且P（X=2）=

C 2 6 •C 4 4

210

=

1

14

，P（X=3）=

C 3 6 •C 3 4

210

=

8

21

，P（X=4）=

C 4 6 •C 2 4

210

=

3

7

，P（X=5）=

C 5 6 •C 1 4

210

=

4

35

，P（X=6）=

1

210

，
求X的分布列为

X	2	3	4	5	6
P	1 14	8 21	3 7	4 35	1 210

点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，离散型随机变量的分布列，属于中档题．