Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁（-3，0），一条渐近线的方程是

5

x-2y=0．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

81

2

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程．
（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由题设得

a2+b2=9 b a = 5 2

，解得

a2=4 b2=5

，所以双曲线方程为

x2

4

-

y2

5

=1．
（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．
点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐标满足方程组

y=kx+m x2 4 - y2 5 =1

将①式代入②式，得

x2

4

-

(kx+m)2

5

=1，整理得（5-4k²）x²-8kmx-4m²-20=0．
此方程有两个不等实根，于是5-4k²≠0，且△=（-8km）²+4（5-4k²）（4m²+20）＞0．
整理得m²+5-4k²＞0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x₀，y₀）满足x0=

x1+x2

2

=

4km

5-4k2

，y0=kx0+m=

5m

5-4k2

．
从而线段MN的垂直平分线方程为y-

5m

5-4k2

=-

1

k

(x-

4km

5-4k2

)．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为(

9km

5-4k2

，0)，(0，

9m

5-4k2

)．
由题设可得

1

2

|

9km

5-4k2

|•|

9m

5-4k2

|=

81

2

．
整理得m2=

(5-4k2)2

|k|

，k≠0．
将上式代入③式得

(5-4k2)2

|k|

+5-4k2＞0，整理得（4k²-5）（4k²-|k|-5）＞0，k≠0．
解得0＜|k|＜

5

2

或|k|＞

5

4

．
所以k的取值范围是(-∞，-

5

4

)∪(-

5

2

，0)∪(0，

5

2

)∪(

5

4

，+∞)．

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．