Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，O、M分别为CE、AB的中点．
（1）求异面直线AB与CE所成角的大小．
（2）求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由DB⊥BA，面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，知DB⊥面ABC，由BD∥AE，知EA⊥面ABC，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与CE所成角的大小．
（2）求出平面ODM的法向量

n

=（2，1，1），利用向量法能求出直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

解答：解：（1）∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE，
∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，
如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，
以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=4，
∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），
则O（2，0，2），M（2，2，0），

CD

=（0，4，2），

OD

=（-2，4，0），

MD

=（-2，2，2），

AB

=(-4，4，0)，

CE

=（4，0，4），
∴cos＜

AB

，

CE

＞=

-16

4 2 •4 2

=-

1

2

，
∴异面直线AB与CE所成角的大小为60°．
（2）设平面ODM的法向量

n

=（x，y，z），则由

n

⊥

OD

且

n

⊥

MD

，

-2x+4y=0 -2x+2y+2z=0

，
令x=2，则y=1，z=1，∴

n

=（2，1，1），
设直线CD和平面ODM所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

CD

＞|=|

0+4+2

6 • 20

|=

6

2 30

=

30

10

，
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为

30

10

．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．