Question

定义：若数列{a_n}对任意n∈N^*，满足

an+2-an+1

an+1-an

=k（k为常数），称数列{a_n}为等差比数列．
（1）若数列{a_n}前n项和S_n满足S_n=3（a_n-2），求{a_n}的通项公式，并判断该数列是否为等差比数列；
（2）若数列{a_n}为等差数列，试判断{a_n}是否一定为等差比数列，并说明理由；
（3）若数列{a_n}为等差比数列，定义中常数k=2，a₂=3，a₁=1，数列{

2n-1

an+1

}的前n项和为T_n，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析：（1）根据S_n=3（a_n-2），再写一式，两式相减，可得{a_n}的通项公式，根据新定义，验证

an+2-an+1

an+1-an

=

3

2

(n∈N*)

即可；
（2）利用新定义，结合a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，即可判断；
（3）确定数列{a_n+1-a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出数列的通项，利用错位相减法求数列的和，即可得证．

解答：（1）解：当n=1时，a₁=S₁=3（a₁-2），则a₁=3，…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3（a_n-2）-3（a_n-1-2），∴

an

an-1

=

3

2

．…（2分）
∴数列{a_n}是首项为3，公比为

3

2

的等比数列，∴an=3×(

3

2

)n-1(n∈N*)．…（3分）
∵

an+2-an+1

an+1-an

=

3 2 an+1- 3 2 an

an+1-an

=

3

2

(n∈N*)

∴数列{a_n}是等差比数列．…（4分）
（2）解：设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n=d，
当d≠0时，

an+2-an+1

an+1-an

=

d

d

=1，数列{a_n}是等差比数列；                   …（6分）
当d=0时，数列{a_n}是常数列，数列{a_n}不是等差比数列．…（8分）
（3）证明：由

an+2-an+1

an+1-an

=2，a2-a1=2，知数列{a_n+1-a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．…（9分）
∴an+1-an=2×2n-1=2n，…（10分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₄-a₃）+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2³+2²+2+1=2ⁿ-1，…（12分）
∴Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，①
①×

1

2

得

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．
∴Tn=3-

2n+3

2n

＜3．…（14分）

点评：本题考查新定义，考查数列通项的求解，考查错位相减法求数列的和，考查不等式的证明，解题的关键是对新定义的理解．