Question

（2012•咸阳三模）如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=2，AB=BC，D是BA₁上一点，且AD⊥平面A₁BC．
（1）求证：BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）在棱BB₁是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB₁A₁的夹角等于60°，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明BC⊥平面ABB₁A₁，利用线面垂直的判定，证明AD⊥BC，AA₁⊥BC即可；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2），求出平面ABB₁A₁的法向量

BC

=(0，

2

，0)，平面ACE的法向量

n

=(a，a，

2

)，利用平面AEC与平面ABB₁A₁的夹角等于60°，结合向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵AD⊥平面A₁BC，BC?平面A₁BC
∴AD⊥BC．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC．
∵AD∩AA₁=A，AD?平面ABB₁A₁，AA₁?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：∵BC⊥平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁
∴BC⊥AB．
又BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，于是可建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC=2，
∴AB=BC=

2

．
从而，A(

2，

，0，0)，B(0，0，0)，C(0，

2

，0)
设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2）
由（1）知平面ABB₁A₁的法向量

BC

=(0，

2

，0)，
令平面ACE的法向量

n

=(x，y，z)，由

n • AC =0 n • AE =0

，可得

- 2 x+ 2 y=0 - 2 x+az=0

令z=

2

得

n

=(a，a，

2

)．
∵平面AEC与平面ABB₁A₁的夹角等于60°
∴|cos?

n，

BC

＞|=

2 a

2 2a2+2

=

1

2

，解得a=1
所以当E为棱BB₁中点时平面AEC与平面ABB₁A₁的夹角等于60°．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确掌握线面垂直的判定定理，合理建立空间直角坐标系是关键．