Question

一个多面体的直观图（正视图，侧视图，俯视图）如图所示，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点，
（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的大小。

Answer 1

解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁，
（Ⅰ）连结AC₁，AB₁，
由直三棱柱的性质得，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥A₁B₁，
则四边形ABB₁A₁为矩形，
由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M，
在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN∥AC₁，
又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁。
（Ⅱ）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC平面ACC₁A₁，所以BC⊥AC₁，
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁，
又因为BC∩A₁C=C，
所以AC₁⊥平面A₁BC。由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC。
（Ⅲ）过点C作CD⊥AB于D，
再过点D作DE⊥A₁B，连接CE，
可以证明∠CED即为所求。
经计算CD=，
所以，即二面角A-A₁B-C为60°。