Question

已知：f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a．（a∈R，a为常数）
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用两角和公式对函数解析式整理，进而根据正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（2）利用（1）中函数的解析式，利用x的范围，确定2x+

π

6

的范围，最后利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值的表达式，进而二者相加求得a．

解答：解：∵f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+a+1
（1）最小正周期T=

2π

2

=π
（2）x∈[-

π

6

，

π

6

]?2x∈[-

π

3

，

π

3

]?2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
先向右平移

π

12

再向下平移1
即

f(x)max=2+a+1 f(x)min=-1+a+1

∴2a+3=3?a=0
2a+2+1=3，a=0

点评：本题主要考查了三角函数的最值．一般是利用三角函数的值域和定义域来求得三角函数的最值．