Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，2a_n+1=2a_n+p（p为常数，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）若S₃=12，求S_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是等比数列，求实数p的值．
（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列{

1

an

}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₁=1，2a_n+1=2a_n+p，求出2a₂=2+p，2a₃=2+2p，利用S₃=12，求出p，即可求S_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是等比数列，则a₂²=a₁a₃，求出实数p的值，再验证；
（Ⅲ）利用反证法进行证明即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，2a_n+1=2a_n+p，
∴2a₂=2+p，2a₃=2+2p，
∵S₃=12，
∴2+2+p+2+2p=6+3p=24，
∴p=6，
∴a_n+1-a_n=3，
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×3=

3n2-n

2

；
（Ⅱ）若数列{a_n}是等比数列，则a₂²=a₁a₃，
∴（1+

p

2

）²=1×（1+p），
∴p=0，
∴a_n+1=a_n，
此时，数列{a_n}是以1为首项，1为公比的等比数列；
（Ⅲ）p=0时，a_n=1，数列{

1

an

}是等差数列，满足题意；
p≠0时，a_n+1-a_n=

p

2

，∴数列{a_n}是以1为首项，

p

2

为公差的等差数列，
∴a_n=

p

2

n+1-

p

2

．
假设存在p₀≠0，满足题意，数列记为{b_n}．
①p₀＞0，a_n＞0，数列{b_n}是各项均为正数的递减数列，∴d＜0．
∵b_n=b₁+（n-1）d，∴n＜1-

b1

d

时，b_n=b₁+（n-1）d＜b₁+（1-

b1

d

-1）d=0，与b_n＞0矛盾；
②p₀＞0，令

p0

2

n+1-

p0

2

＜0，∴n＞1-

2

p0

，a_n＜0，数列{b_n}是各项均为负数的递增数列，∴d＞0．
∵b_n=b₁+（n-1）d，∴n＞1-

b1

d

时，b_n=b₁+（n-1）d＞b₁+（1-

b1

d

-1）d=0，与b_n＜0矛盾，
综上所述，p=0是唯一满足条件的p的值．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．