Question

（2013•南开区二模）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角M-BD-C的大小为60°，求

CM

CP

的值．

Answer 1

分析：（I）由Q为侧面正三角形PAB的边AB的中点，可得PQ⊥AB，再利用面面垂直的性质定理即可证明线面垂直；
（II）通过结论空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出；
（III）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角，进而解出．

解答：（Ⅰ）证明：∵侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，∴PQ⊥AB，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，PQ?侧面PAB，
∴PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AC，设AC∩BD=O，建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），B(

3

，0，0)，C（0，1，0），D(-

3

，0，0)，P(

3

2

，-

1

2

，

3

)，

PD

=(-

3 3

2

，

1

2

，-

3

)，平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)，
设斜线PD与平面ABCD所成角的为α，
则sinα=|cos＜

m

，

PD

＞|=|

m • PD

| m || PD |

|=

3

27 4 + 1 4 +3

=

30

10

．
（Ⅲ）设

CM

=t

CP

=(

3

2

t，-

3

2

t，

3

t)，
则M(

3

2

t，-

3

2

t+1，

3

t)，

BM

=(

3

2

t-

3

，-

3

2

t+1，

3

t)，

DB

=2

3

(1，0，0)，
设平面MBD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

⊥

DB

?

n

•

DB

=0?x=0，

n

⊥

MB

?

n

•

MB

=0?(

3

2

t-

3

)x+(-

3

2

t+1)y+

3

tz=0，
取z=

3

，得

n

=(0，

6t

3t-2

，

3

)，又平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)．
∴|

m • n

| m | n |

|=|cos＜

m

，

n

＞|=|cos60°|，∴

3

3+( 6t 3t-2 )2

=

1

2

，
解得t=2（舍去）或t=

2

5

．
所以，此时

CM

CP

=

2

5

．

点评：熟练掌握正三角形的性质、面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角得出线面角、利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角是解题的关键．