Question

点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.

Answer 1

（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)

   设点P(,),则={+6, },={－4, },由已知可得

          则2+9－18=0, =或=－6.

   由于>0,只能=,于是=.   ∴点P的坐标是(,)

   (2) 直线AP的方程是－+6=0.  设点M(,0),则M到直线AP的距离是.   于是=,又－6≤≤6,解得=2.

   椭圆上的点(,)到点M的距离有

  ,

由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值

解析:

设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值. 　点评：解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.