Question

已知1≤x≤10，y＞0，且xy²=100，求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由已知，可得y=

100 x

，进而根据对数函数的运算性质构造函数t=(lgx)2+(lgy)2=

5

4

(lgx)2-lgx+1，1≤x≤10，令m=lgx，结合二次函数的图象和性质，可得函数的最值．

解答：解：∵xy²=100，y＞0，
∴y=

100 x

，1≤x≤10，
所以t=(lgx)2+(lgy)2=(lgx)2+(lg

100 x

)2=

5

4

(lgx)2-lgx+1---------（4分）
令m=lgx，因为1≤x≤10所以0≤m≤1--------------------（6分）
既求0≤m≤1时t=

5

4

m2-m+1的最值
所以当m=

2

5

，既x=10

2

5

时，t有最小值

4

5

；
当m=1，既x=10时，t有最大值

5

4

---------------------------------（12分）

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中利用对数函数的运算性质，及换元法，将已知转化为二次函数在闭区间上的最值问题是解答的关键．