Question

18．关于x的方程（x²-2）²-2|x²-2|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数为0．

Answer 1

分析 关于x的方程（x²-2）²-2|x²-2|+k=0可化为（x²-2）²-2（x²-2）+k=0（x≥$\sqrt{2}$或x≤-$\sqrt{2}$）（1）或（x²-2）²+2（x²-2）+k=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）（2）；举出特例，逐一判断四个命题的真假，可得答案．

解答 解：关于x的方程（x²-2）²-2|x²-2|+k=0可化为（x²-2）²-2（x²-2）+k=0（x≥$\sqrt{2}$或x≤-$\sqrt{2}$）（1）
或（x²-2）²+2（x²-2）+k=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）（2）
当k=-3时，方程（1）的解为±$\sqrt{5}$，方程（2）的无解，原方程恰有2个不同的实根；
当k=1时，方程（1）的解为±$\sqrt{3}$，方程（2）的解为±1，原方程恰有4个不同的实根；
当k=0时，方程（1）的解为±2，±$\sqrt{2}$，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根；
当k=$\frac{3}{4}$时，方程（1）的解为±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，方程（2）的解为±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，原方程恰有8个不同的实根；
故错误的命题为0个，
故答案为：0

点评 本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，本题分类比较复杂，属于中档题．