Question

已知函数f（x）=

kx+ka，x≥0 1 3 x3- 1 2 (a+1)x2+ax-a2-1，x＜0.

其中a∈R，若对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，则k的最大值为（　　）

• A、-1
• B、-2
• C、-3
• D、-4

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：求函数的导数f′（x）=（x-a）（x-1），结合分段函数的表达式从而确定函数的单调性，利用基本不等式进行求解即可．

解答： 解：由分段函数可得f（0）=ka，
当x＜0时，f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
若对任意的非零的实数x₁，存在唯一的非零的实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
则知函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
当x≥0时，f（x）=k（x+a），此时对应直线和x轴的交点为（-a，0），
若a＜0，则不满足函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
当a=0时，f（x）=

kx， x≥0 1 3 x3-1， x＜0

，此时不满足条件，
故a＞0，
而由-a²-1=ka知，
k=

-a2-1

a

=-（a+

1

a

）≤-2

a• 1 a

=-2，
（当且仅当a=

1

a

，即a=1时，等号成立）；
故k的最大值为-2，
故选：B

点评：本题主要考查分段函数的应用，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一点的难度．