Question

已知定点F（2，0）和定直线l：x=-2，动圆P过定点F与定直线l相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）若以M（2，3）为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点，且线段AB是此圆的直径时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）根据动圆P过定点F与定直线l相切，故动圆圆心P到F的距离等于P到l的距离，根据抛物线的定义，可得P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线．
（2）由（1）中抛物线的方程，利用设而不求的方法，结合线段AB是以M（2，3）为圆心的圆的直径，可得

y2-y1

x2-x1

=

8

y2+y1

且y₂+y₁=6，求出直线AB的斜率后，代入点斜式方程，可得答案．

解答：解：（1）由题意知，P到F的距离等于P到l的距离，
所以P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，
∵定点F（2，0）和定直线l：x=-2，
它的方程为y²=8x
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y12=8x1，y22=8x2
∴

y2-y1

x2-x1

=

8

y2+y1

由AB为圆M（2，3）的直径知，y₂+y₁=6
故直线的斜率为

4

3

直线AB的方程为y-3=

4

3

(x-2)，即4x-3y+1=0

点评：本题考查的知识点是抛物线的标准方程，直线的斜率公式，直线的点斜式方程，难度较小，属于基础题型．