Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是A₁B₁和CC₁的中点．
（1）求异面直线BD与B₁C所成的角；
（2）求证：EF∥平面ACB₁．

Answer 1

分析：（1）连接B₁D₁，则DB∥D₁B₁，则∠D₁B₁C为异面直线BD与B₁C所成的角，连接D₁C，在△D₁B₁C中求解角；
（2）取B₁D₁的中点O，连接OE，OF，利用线面平行的判定定理，证明OE、OF分别与平面平行，从而得平面OEF∥平面AB₁C，再由面面平行的性质得线面平行．

解答：解：（1）如图，连接B₁D₁，则DB∥D₁B₁，
则∠D₁B₁C为异面直线BD与B₁C所成的角，
连接D₁C，在△D₁B₁C中，D₁B₁=B₁C=CD₁，
则∠D₁B₁C=60°，
因此异面直线BD与B₁C所成的角为60°．
（2）取B₁D₁的中点O，连接OE，OF，A₁C₁，
∵O、F分别是B₁C₁，CC₁的中点，∴OF∥B₁C，
又B₁C?平面AB₁C，OF?平面AB₁C，∴OF∥平面AB₁C；
∵E为A₁B₁的中点，∴OE∥A₁C₁，又AC∥A₁C₁，∴OE∥AC，
又AC?平面AB₁C，OE?平面AB₁C，∴OE∥平面AB₁C；
∵OE∩OF=O，∴平面OEF∥平面AB₁C，EF?平面OEF，
∴EF∥平面AB₁C．

点评：本题考查了异面直线所成角的求法，考查了线面平行的判断，面面平行的判定及面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力，逻辑推理能力．