Question

【题目】已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e是自然对数的底数，实数a是常数．

(1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）答案见解析．

【解析】

（1）求函数f(x)的导数，可写出对应切线方程

(2) 对函数f(x)的导数值的正负分类，讨论单调性。

(1)∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，

∴f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.

∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.

(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.

当a≤0时，f′(x)＞0，故f(x)在上单调递增；

当a＞0时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，

∴当x＜ln a时，f′(x)＜ =0，当x＞ln a时，f′(x)＞ =0，

∴f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．

综上，当a≤0时，f(x)在上单调递增；

当a＞0时，∴f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．