Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程．
（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x-1．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题设条件得y1=-1，y2=

1

3

．由此入手可求出S△POQ=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

2

3

．
（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．由题意知（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此可知0＜m＜

1

2

．

解答：解：（1）由已知，椭圆方程可设为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．（1分）
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴b=c=1 ， a=

2

．
所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x-1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2+2y2=2 y=x-1

得3y²+2y-1=0，解得y1=-1，y2=

1

3

．
∴S△POQ=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

2

3

．（9分）
（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．

MP

=(x1-m， y1)，

MQ

=(x2-m， y2)，

PQ

=(x2-x1， y2-y1)．其中x₂-x₁≠0
以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形?(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

?(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0?（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）（x₂-x₁，y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0?(

4k2

1+2k2

-2m)+k2(

4k2

1+2k2

-2)=0?2k²-（2+4k²）m=0?m=

k2

1+2k2

(k≠0)．
∴0＜m＜

1

2

．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．