解:(1)f
11(x)=(1+x)
11=a
0+a
1x+a
2x
2+…+a
11x
11,①
考察(1-x)
11展开式的项,与①式奇数项相同,偶数项互为相反数.
∴(1+x)
11-(1-x)
11=2(a
1x+a
3x
3+…+2a
11x
11),
令x=1得 a
1+a
3+…+a
11=
=1024.
(2)f
n(x)=(1+x)
n.展开式中含x
6项为T
7=C
n6x
6,系数为C
n6.
g(x)中含x
6项的系数等于C
66+2C
76+3C
86=99.
证明:(3)设h(x)=(1+x)
m+2(1+x)
m+1+…+n(1+x)
m+n-1(1)
则函数h(x)中含x
m项的系数为C
mm+2×C
m+1m+…+nC
m+n-1m(1+x)h(x)=(1+x)
m+1+2(1+x)
m+2+…+n(1+x)
m+n (2)(1)-(2)得-xh(x)=(1+x)
m+(1+x)
m+1+(1+x)
m+2+…+(1+x)
m+n-1-n(1+x)
m+n x
2h(x)=(1+x)
m-(1+x)
m+n+nx(1+x)
m+nh(x)中含x
m项的系数,即是等式左边含x
m+2项的系数,
等式右边含x
m+2项的系数为-C
m+nm+2+nC
m+nm+1=
所以C
mm+2×C
m+1m+…+nC
m+n-1m=
分析:(1)考察(1+x)
11(1-x)
11展开式的项的项的关系,两式相减后再令x=1,可求.
(2)由于g(x)是由三个二项式的和组成;利用二项展开式的通项公式求出三个二项式中x
6的系数,求它们的和.
(3)构造函数h(x);待证等式的左边即为h(x)展开式含x
m的系数和;通过数列的求和方法:错位相减法求出h(x);求出h(x)的展开式含x
m项的系数;利用组合数公式化简,恒等式得证.
点评:本题考查二项展开式的系数和问题,求二项展开式的特定项问题、考查赋值法、构造函数法、数列的求和方法、错位相减法.