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    已知函数=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a,b的值,并求出的单调区间.

    分析：极值点便是导函数对应方程的根.

    解：由已知,得f(1)=1-3a+2b=-1,

    又=3x2-6ax+2b                                                                          ①

    ∴f′(1)=3-6a+2b=0                                                                       ②

    由①②得a=,b=-.

    故函数的解析式为=x3-x2-x.

    由此得=3x2-2x-1,由二次函数的性质,当x＜或x＞1时, ＞0;当-＜x＜1时,＜0.因此,在区间(-∞,-)和(1,+∞)上,函数为增函数;在区间(-,1)内,函数为减函数.

    点评：此类问题根据极值点为导函数的根构造方程组,利用待定系数法求解.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1
    3
    ax3+
    1
    2
    bx2+cx    ．
    （Ⅰ）若函数f（x）有三个零点x1，x2，x3，且x1+x2+x3=
    9
    2
    ，x2x3=6，f(-1)=
    5
    6
    ，求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅱ）若f′(1)=-
    1
    2
    a    ，3a＞2c＞2b，求证：导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f'（x）的两个零点之间的距离不小于
    		3
    ，求
    b
    a
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x2，x∈[0，+∞)
    x3+a2-3a+2，x∈(-∞，0)
     在区间（-∞，+∞）上是增函数，则常数a的取值范围是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    以下四个命题：
    ①工厂制造的某机械零件尺寸ξ～N（4，
    1
    9
    ），在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3，5）这个尺寸范围的零件大约有3个．
    ②抛掷n次硬币，记不连续出现两次正面向上的概率为Pn，则
    lim
    n→∞
    Pn=0
    ③若直线ax+by-3a=0与双曲线
    x2
    9
    -
    y2
    4
    =1有且只有一个公共点，则这样的直线有2条．
    ④已知函数f（x）=x+
    1
    x
    +a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在x1，x2∈[
    1
    a
    ，a]（a＞1），使得|f（x1）-g（x2）|≤9，则a的取值范围是（1，4]．
    其中正确的命题是
    ①②④
    ①②④
    （写出所有正确的命题序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•蓝山县模拟）已知函数f(x)=
    1
    3
    ax3+
    1
    2
    bx2+cx    （a＞0）．
    （1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，求函数f（x）的单调区间；
    （2）若f′(1)=-
    1
    2
    a    ，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；
    （3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于
    		3
    ，求
    b
    a
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•台州二模）已知函数f（x）=x3+ax2-2ax-3a，（a∈R）．
    （Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线x+6y=0垂直，求a的值．
    （Ⅱ）证明：对于?a∈R都?x∈[-1，4]，使得f（x）≤f′（x）成立．

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