【题目】如图,在四棱锥中,PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BC∥AD,
.
(Ⅰ)求证:CD⊥PD;
(Ⅱ)求证:BD⊥平面PAB;
(Ⅲ)在棱PD上是否存在点M,使CM∥平面PAB,若存在,确定点M的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)在棱PD上存在点M,使CM∥平面PAB,且M是PD的中点.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得CD⊥平面PAD,从而易得CD⊥PD;
(Ⅱ)要证BD⊥平面PAB,关键是证明;
(Ⅲ)在棱PD上存在点M,使CM∥平面PAB,且M是PD的中点.
(Ⅰ)证明:因为PA⊥平面ABCD,平面ABCD
所以CD⊥PA.
因为CD⊥AD,,
所以CD⊥平面PAD.
因为平面PAD,
所以CD⊥PD.
(II)因为PA⊥平面ABCD,平面ABCD
所以BD⊥PA.
在直角梯形ABCD中,,
由题意可得,
所以,
所以.
因为,
所以平面PAB.
(Ⅲ)解:在棱PD上存在点M,使CM∥平面PAB,且M是PD的中点.
证明:取PA的中点N,连接MN,BN,
因为M是PD的中点,所以.
因为,所以
.
所以MNBC是平行四边形,
所以CM∥BN.
因为平面PAB,
平面PAB.
所以平面PAB.
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【题目】已知函数f(x)=xex﹣a(lnx+x).
(1)若函数f(x)恒有两个零点,求a的取值范围;
(2)若对任意x>0,恒有不等式f(x)≥1成立. ①求实数a的值;
②证明:x2ex>(x+2)lnx+2sinx.
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【题目】已知直线l的参数方程是 (t是参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ+
).
(1)判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)过直线l上的点作曲线C的切线,求切线长的最小值.
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【题目】已知函数,下列命题正确的有_______.(写出所有正确命题的编号)
①是奇函数;
②在
上是单调递增函数;
③方程有且仅有1个实数根;
④如果对任意,都有
,那么
的最大值为2.
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【题目】某公司制造两种电子设备:影片播放器和音乐播放器.在每天生产结束后,要对产品进行检测,故障的播放器会被移除进行修复. 下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.
商品类型 | 播放器每天平均产量 | 播放器每天平均故障率 |
影片播放器 | 3000 | 4% |
音乐播放器 | 9000 | 3% |
下面是关于公司每天生产量的叙述:
①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器;
②在任何一批数量为100的影片播放器中,恰好有4个会是故障的;
③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测,此产品需要进行修复的概率是0.03.
上面叙述正确的是___________.
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【题目】某班制定了数学学习方案:星期一和星期日分别解决个数学问题,且从星期二开始,每天所解决问题的个数与前一天相比,要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”,则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有( )
A. 种 B.
种 C.
种 D.
种
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点M的极坐标为 ,圆C的参数方程为
(α为参数).
(1)直线l过M且与圆C相切,求直线l的极坐标方程;
(2)过点P(0,m)且斜率为 的直线l'与圆C交于A,B两点,若|PA||PB|=6,求实数m的值.
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【题目】已知圆经过
两点,且圆心
在直线
上.
(1)求圆的方程;
(2)已知过点的直线
与圆
相交截得的弦长为
,求直线
的方程;
(3)已知点,在平面内是否存在异于点
的定点
,对于圆
上的任意动点
,都有
为定值?若存在求出定点
的坐标,若不存在说明理由.
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【题目】如图,棱长为1(单位:)的正方体木块经过适当切割,得到几何体
,已知几何体
由两个底面相同的正四棱锥组成,底面
平行于正方体的下底面,且各顶点均在正方体的面上,则几何体
体积的取值范围是________(单位:
).
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