Question

若a，b在区间[0，

3

]上取值，则函数f（x）=ax³+bx²+ax在R上有两个相异极值点的概率是

 

．

Answer 1

分析：先利用导数求出函数f（x）=ax³+bx²+ax在R上有两个相异极值点的充要条件，得出关于a，b的约束条件，在a-o-b坐标系中画出可行域，再利用几何概型求出两者的面积比即可．

解答：解：易得f′（x）=3ax²+2bx+a，
函数f（x）=ax³+bx²+ax在R上有两个相异极值点的充要条件：
是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b²-12a²＞0，
又a，b在区间 [0，

3

]上取值，则 a＞0，b＞

3

a，
点（a，b）满足的区域如图中阴影部分所示，
其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为

3

2

，
故所求的概率是

3

6

．
故答案为：

3

6

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值、几何概型．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．