Question

已知函数f（x）=2cos²x-sin（2x-

7π

6

）
（1）求函数f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值，并求出对应的x值．
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（A）=

3

2

，b+c=2，求实数a的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数的最值

专题：解三角形

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出最小值与最大值，以及相应x的值即可；
（2）由f（A）=

3

2

，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用完全平方公式化简，把b+c的值代入，利用基本不等式求出a的最小值即可．

解答： 解：（1）f（x）=1+cos2x-（sin2xcos

7π

6

-cos2xsin

7π

6

）=1+cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

7π

6

]，
∴当x=

π

6

时，f（x）_max=2；当x=-

π

4

时，f（x）_min=1-

3

2

；
（2）f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=

3

2

，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=4-3bc，
∴4-a²=3bc≤3×（

b+c

2

）²，即a²≥1，
解得：a≥1，
则实数a的最小值为1．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．