Question

不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0对a∈[1，∞）恒成立，则x的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，-1）或（3，+∞）
分析：把给出的不等式看作是关于a的一元一次不等式，要使不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0对a∈[1，∞）恒成立，即
（x²+x+1）a-3x-4＞0恒成立，a的系数恒大与0，说明一次不等式对应的一次函数的斜率为正，只需把a代1时函数值大于0即可，由此可求得x的取值范围．
解答：由ax²+（a-3）x+（a-4）＞0，得：（x²+x+1）a-3x-4＞0，
∵x²+x+1＞0恒成立，
令f（a）=（x²+x+1）a-3x-4，
要使（x²+x+1）a-3x-4＞0对a∈[1，∞）恒成立，
则f（1）＞0，即x²+x+1-3x-4＞0恒成立，
解得：x＜-1或x＞3．
所以，使不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0对a∈[1，∞）恒成立的x的取值范围是（-∞，-1）或（3，+∞）．
故答案为（-∞，-1）或（3，+∞）．
点评：本题考查一元二次不等式的应用，考查了数学转化思想，解答此题的关键是更换主元，把二次不等式看做关于a的一次不等式处理，此题是中档题．