Question

实轴长为4

3

的椭圆的中心在原点，其焦点F₁，，F₂在x轴上．抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A，且AF₁⊥AF₂，△AF₁F₂的面积为3．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B，C，若

AC

=2

AB

，求直线l的斜率k．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，AF₁=m，AF₂=n，由题意知

m2+n2=4c2 m+n=4 3 mn=6

，由此能求出椭圆的方程和抛物线方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y-1=k(x-2

2

)，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．由

AC

=2

AB

，得2x1-x2=2

2

，联立直线与抛物线的方程

y-1=k(x-2 2 ) x2=8y

，得x2-8kx+16

2

k-8=0，x1+2

2

=8k．联立直线与椭圆的方程

y-1=k(x-2 2 ) x2+4y2=12

，得(1+4k2)x2+(8k-16

2

k2)x+32k2-16

2

k-8=0．由此能求出直线l的斜率．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，AF₁=m，AF₂=n

由题意知

m2+n2=4c2 m+n=4 3 mn=6

…（2分）
解得c²=9，∴b²=12-9=3．
∴椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1…（4分）
∵y_A×c=3，∴y_A=1，代入椭圆的方程得xA=2

2

，
将点A坐标代入得抛物线方程为x²=8y．         …（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y-1=k(x-2

2

)，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由

AC

=2

AB

得x2-2

2

=2(x1-2

2

)，
化简得2x1-x2=2

2

…（8分）
联立直线与抛物线的方程

y-1=k(x-2 2 ) x2=8y

，
得x2-8kx+16

2

k-8=0
∴x1+2

2

=8k①…（10分）
联立直线与椭圆的方程

y-1=k(x-2 2 ) x2+4y2=12

得(1+4k2)x2+(8k-16

2

k2)x+32k2-16

2

k-8=0
∴x2+2

2

=

16 2 k2-8k

1+4k2

②…（12分）
∴2x1-x2=2(8k-2

2

)-

16 2 k2-8k

1+4k2

+2

2

=2

2

整理得：(16k-4

2

)(1-

2 k

1+4k2

)=0∴k=

2

4

，所以直线l的斜率为

2

4

．       …（14分）

点评：本题考查椭圆和抛物线的标准方程的求法和求直线l的斜率k．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．