Question

设双曲线C的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．
（1）试求双曲线C的方程；
（2）设直线l：y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；
（3）对于直线L：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使直线L与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线y²=2x-4，即y²=2（x-），可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，由此能求出双曲线C的方程．
（2）由，知3x²-（2x+1）²=1，由此能求出|AB|．
（3）设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则，由此能够推导出不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．
解答：解：（1）由抛物线y²=2x-4，即y²=2（x-），可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．
在双曲线C中，中心在原点，右焦点（，0），
右准线x=，∴⇒
∴双曲线C的方程3x²-y²=1
（2）由⇒3x²-（2x+1）²=1⇒x²+4x+2=0∴|AB|=2
（3）假设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则
由
由②③，有a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2 ⑤
由④知：x₁+x₂=代入⑤
整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．
点评：本题考查双曲线方程的求法、求弦长和判断是否存在存在满足条件的实数k．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．