Question

已知x+2y=1，x∈R⁺，y∈R⁺，则x²y的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：由x+2y=1，可得x=1-2y，结合x＞0，y＞0可得，而x²y=（1-2y）²y=，利用基本不等式可求函数的最大值
法二：由x+2y=1，可得x=1-2y，解x＞0，y＞0可得，而x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y，构造函数f（y）=4y³-4y²+y（），利用导数判断函数的单调性，进而可求函数的最大值
解答：解：法一：由x+2y=1，可得x=1-2y
∵x＞0，y＞0
∴
∴
∴x²y=（1-2y）²y=
=
当且仅当1-2y=4y即y=，x=时取等号
则x²y的最大值为
故答案为
法二：由x+2y=1，可得x=1-2y
∴x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y
∵x＞0，y＞0
∴
∴
令f（y）=4y³-4y²+y（），则f′（y）=12y²-8y+1
∵
令f′（y）＜0恒可得
令f′（y）≥0可得
∴函数f（y）=4y³-4y²+y在（，）单调递减，在（0，]上单调递增
∴当y=时取得最大值
故答案为
点评：本题主要考查了函数的最大值的求解，法一中主要利用了基本不等式abc，法二是解答一般函数求解最值的常用方法