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    如图，设P，Q为△ABC内的两点，且
    AP
    =
    2
    3
    AB
    +
    1
    4
    AC
    ，
    AQ
    =
    3
    5
    AB
    +
    1
    3
    AC
    ，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为
    3
    4
    3
    4
    ．
    分析：如图所示，分别过点P，Q作PD⊥AB，QE⊥AB，垂足分别为D，E．在△APD中，
    PD
    =
    AD
    -
    AP
    ，利用向量垂直与数量积的关系可得
    PD
    •
    AB
    =0    ，
    把已知代入得到|
    AD
    |    =
    2
    3
    |
    AB
    |+
    1
    4
    |
    AC
    |cosA    ．利用勾股定理可得|
    PD
    |2    =
    AP
    2    -|
    AD
    |2    ，于是|
    PD
    |=
    1
    4
    |
    AC
    |sinA    ．同理可得|
    QE
    |=
    1
    3
    |
    AC
    |sinA    ．
    由此可得
    S△APB
    S△AQB
    =
    |
    PD
    |
    |
    QE
    |
    ．
    解答：解：如图所示，分别过点P，Q作PD⊥AB，QE⊥AB，垂足分别为D，E．
    在△APD中，
    PD
    =
    AD
    -
    AP
    ，
    ∵
    PD
    ⊥
    AB
    ，∴
    PD
    •
    AB
    =0    ，
    ∴(
    AD
    -
    AP
    )•
    AB
    =
    AD
    •
    AB
    -
    AP
    •
    AB
    =0，
    ∴
    AD
    •
    AB
    =
    AP
    •
    AB
    =(
    2
    3
    AB
    +
    1
    4
    AC
    )•
    AB
    =
    2
    3
    AB
    2    +
    1
    4
    AC
    •
    AB
    ，
    ∴|
    AD
    |•|
    AB
    |    =
    2
    3
    |
    AB
    |2+
    1
    4
    |
    AC
    | |
    AB
    |cosA    ，
    得到|
    AD
    |    =
    2
    3
    |
    AB
    |+
    1
    4
    |
    AC
    |cosA    ．
    ∴|
    PD
    |2    =
    AP
    2    -|
    AD
    |2    =(
    2
    3
    AB
    +
    1
    4
    AC
    )2    -(
    2
    3
    |
    AB
    |+
    1
    4
    |
    AC
    |cosA)2
    =
    1
    16
    AC
    2    -
    1
    16
    |
    AC
    |2cos2A    =
    1
    16
    |
    AC
    |2sin2A    ，
    ∴|
    PD
    |=
    1
    4
    |
    AC
    |sinA    ．
    同理可得|
    QE
    |=
    1
    3
    |
    AC
    |sinA    ．
    ∴
    S△APB
    S△AQB
    =
    |
    PD
    |
    |
    QE
    |
    =
    1
    4
    |
    AC
    |sinA
    1
    3
    |
    AC
    |sinA
    =
    3
    4
    ．
    故答案为
    3
    4
    ．
    点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系、勾股定理和三角形的面积计算公式等是解题的关键．
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    +
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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年重庆市高三第五次月考文科数学 题型：选择题

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    A．                                                        B．                       

    C．                                                        D．

     

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