Question

若二项式（1+2x）ⁿ展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

Answer 1

分析：根据在（1+2x）ⁿ的展开式中第六项与第七项的系数相等，得到C_n⁵2⁵=C_n⁶2⁶，得到n=8，写出二项式的二项式系数，根据二项式系数的性质得到结果．

解答：解：∵在（1+2x）ⁿ的展开式中第六项与第七项的系数相等，
∴C_n⁵2⁵=C_n⁶2⁶，
∴n=8，
∴展开式中二项式系数最大的项是第5项：

C

4 8

(2x)4=1120x⁴．
二项式的展开式的系数系数最大的项为第r项，
所以

Tr+1≥Tr Tr+1≥Tr+2

，即

C r 8 2r ≥C r-1 8 2r-1 C r 8 2r ≥C r+1 8 2r+1

，解得

r≤ 16 3 r≥ 15 3

，
所以r=5，
所以展开式中系数最大的项是第5项．

点评：本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是正确利用二项式系数的性质，注意和组合数联系，本题是中档题．