Question

求周长为定值L（L＞0）的直角三角形的面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：因为L=a+b+c，c=，两次运用均值不等式即可求解；或者利用三角代换，转化为三角函数求最值问题．
解答：解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，
解法一：a+b+=L≥2+．
∴≤．
∴S=ab≤（）²
=•[]²=L²．
解法二：设a=csinθ，b=ccosθ．
∵a+b+c=L，
∴c（1+sinθ+cosθ）=L．
∴c=．
∴S=c²sinθcosθ=．
设sinθ+cosθ=t∈（1，]，
则S=•=•=（1-）≤（1-）=L²．
点评：利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．