Question

12．已知抛物线y²=2x的准线l与x轴的交点为K，点A、B在抛物线上，若$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{KA}$，则AB的斜率为（　　）

• A． ±$\frac{4}{5}$
• B． ±$\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程，可得K的坐标，可设A（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{2}$，n），运用向量共线的坐标表示，解方程可得m，n，再由直线的斜率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=2x的准线l为x=-$\frac{1}{2}$，
即有K（-$\frac{1}{2}$，0），
由A，B在抛物线上，可设A（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{2}$，n），
由$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{KA}$，可得$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$=3（$\frac{{m}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$），
且n-m=3（m-0），
解得m=$\frac{1}{2}$，n=2或m=-$\frac{1}{2}$，n=-2，
即有直线AB的斜率为k=$\frac{n-m}{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{{m}^{2}}{2}}$=$\frac{2}{m+n}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{4}{5}$
或$\frac{2}{-\frac{1}{2}-2}$=-$\frac{4}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的方程及运用，考查向量共线的坐标表示，以及直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．