Question

烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y．
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：，（0＜x＜20）
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导，利用单调性与导数的关系求最值即可．
解答：解：（Ⅰ）不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；…（3分）
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：，（0＜x＜20）…（6分）
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得；…（9分）
令y'=0，得（3x-20）•（3x²+400）=0；
又0＜x＜20，∴．…（12分）
∵当时，y'＜0；当时，y'＞0，
∴当时，y取最小值．
故存在点C，当km时，该点的烟尘浓度最低．…（14分）
点评：本题以环保为素材，考查函数模型的构建，考查根据导数求函数的最值的问题．属中档题