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已知a>2,求证:log(a-1)a>loga(a+1)
分析:(法一)利用作差法:只要证明log(a-1)a-loga(a+1)=
1
loga(a-1)
-loga(a+1)
=
1-(loga(a-1))•(loga(a+1))
loga(a-1)
>0即可
(法二)作商法:只要证明
log(a-1)a
loga(a+1)
=
1
loga(a-1)
loga(a-1)
=
1
(loga(a-1))•(loga(a+1))
>1即可
解答:证明(法一):∵log(a-1)a-loga(a+1)=
1
loga(a-1)
-loga(a+1)

=
1-(loga(a-1))•(loga(a+1))
loga(a-1)

因为a>2,所以,loga(a-1)>0,loga(a+1)>0,
所以,loga(a-1)•loga(a+1)[
loga(a-1)+loga(a+1)
2
]
2

=
[loga(a2-1)]2
4
[logaa2]2
4
=1

所以,log(a-1)a-loga(a+1)>0,命题得证.
证明2:因为a>2,所以,loga(a-1)>0,loga(a+1)>0,
所以,
log(a-1)a
loga(a+1)
=
1
loga(a-1)
loga(a-1)
=
1
(loga(a-1))•(loga(a+1))

由法1可知:loga(a-1)•loga(a+1)[
loga(a-1)+loga(a+1)
2
]
2

=
[loga(a2-1)]2
4
[logaa2]2
4
=1

1
loga(a-1)•loga(a+1)
>1.
故命题得证
点评:本题主要考查了不等式的证明方法的常用方法:作差证明差大于0,作商证明商大于1.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C方程为
x2
a2
+y2=1
,过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为
2
2

(1)求椭圆方程.
(2)已知A、B方程为椭圆的左右两个顶点,T为椭圆在第一象限内的一点,l为点B且垂直x轴的直线,点S为直线AT与直线l的交点,点M为以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点,求证:
TB
-
SM
=
TB
-
SO

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.
(Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标;
(Ⅱ)已知O为原点,求证:∠MON为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

A.选修4-1:几何证明选讲
如图,直角△ABC中,∠B=90°,以BC为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB的中点.
求证:DE是⊙O的切线.
B.选修4-2:矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为
1
-4
,点P(2,-1)在矩阵A对应的变换下得到点P′(5,1),求矩阵A.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=
2
,曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
(α为参数),求曲线C截直线l所得的弦长.
D.选修4-5:不等式选讲
已知a,b,c都是正数,且abc=8,求证:log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)≥6.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•湖北模拟)已知A(-1,0)、B(3,0),M、N是圆O:x2+y2=1上的两个动点,且M、N关于x轴对称,直线AM与BN交于P点.
(1)求P点的轨迹C的方程;
(2)设动直线l:y=k(x+
3
2
)与曲线C交于S、T两点.求证:无论k为何值时,以动弦ST为直径的圆总与定直线x=-
1
2
相切.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知A、B、C是直线l上的三点,且
OA
OB
OC
满足:
OA
-(y+1-lnx)
OB
+
1-x
ax
OC
=
0
(O∉l且a>0)

(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若f(x)在[1,+∞)单调递增,求实数a的范围;
(3)当a=1时,求证:lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
.(n≥2且n∈N*)

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