Question

在下列函数中．在[0，3]上是增函数且是偶函数的函数是（　　）

• A、y=3^x+3^-x
• B、y=-|x-3|
• C、y=log₂

  3-x

  3+x

• D、y=cosx

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据函数导数符号和函数单调性的关系，偶函数的定义，余弦函数的单调性即可判断每个选项的正误．

解答： 解：A．y′=ln3（3^x-3^-x）；
∵x∈[0，3]；
∴3^x≥1，3^-x≤1；
∴y′≥0；
∴该函数在[0，3]上是增函数，并且该函数是偶函数；
所以该选项正确；
B．设y=f（x），f（-1）=-4，f（1）=-2；
显然该函数不是偶函数；
∴该选项错误；
C．设y=f（x），则：
f（-x）=log2

3+x

3-x

=-log2

3-x

3+x

=-f(x)；
∴该函数不是偶函数，所以该选项错误；
D．y=cosx在[0，π]上是减函数；
∴该函数在[0，3]上是减函数，所以该选项错误．
故选A．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，偶函数的定义，以及余弦函数的单调性．