Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{{sin（{A+B}）}}{a+b}=\frac{sinA-sinB}{a-c}$，b=3．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形内角和定理，正弦定理化简已知等式得a²+c²-b²=ac，由余弦定理cosB的值，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由正弦定理可得a的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为A+B+C=π，
所以A+B=π-C，…（1分）
所以sin（A+B）=sinC，…（2分）
由正弦定理得：$\frac{c}{a+b}=\frac{a-b}{a-c}$，…（3分）
整理得a²+c²-b²=ac，…（4分）
由余弦定理得：$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$． …（5分）
又B∈（0，π），
所以$B=\frac{π}{3}$． …（6分）
（Ⅱ）因为$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且A∈（0，π），
所以sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…7分
由正弦定理可得：$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得a=2． …（8分）
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB…（9分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{6}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$． …（10分）
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$…（11分）
=$\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$． …（12分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．