Question

若方程cos2x+

3

sin2x=a+1[0，

π

2

]上有两个不同的实数解x，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意由于程cos2x+

3

sin2x=a+1[0，

π

2

]上有两个不同的实数解x，此方程属于超越方程不能具体解出该方程的解，只能利用方程与函数相结合，利用函数图象的交点的个数即可．

解答：解：由题意由于方程cos2x+

3

sin2x=a+1[0，

π

2

]上有两个不同的实数解x，不妨记f（x）=cos2x+

3

sin2x，g（x）=a+1，
∵x∈[0，

π

2

]，使得方程cos2x+

3

sin2x=a+1有两个不同的实数解，等价于函数f（x）与g（x）在x∈[0，

π

2

]上有两个不同的交点，又因为f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

） 由于x∈[0，

π

2

]，∴f（x）∈[-1，2]，要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤a+1＜2，即0≤a＜1．
故答案为：0≤a＜1

点评：此题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，并且利用三角函数的知识及与一次函数知识得到a的符合题意的式子．