Question

【挑战自我】

如图，已知PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC＝1∶1∶.

（1）求二面角D－PB－C的正切值；

（2）当AD∶BC的值是多少时，能使平面PAB⊥平面PBC？证明你的结论.

Answer 1

（1）∴二面角D－PB－C的正切值为

（2）∴当平面PAB⊥平面PBC时，

解析:

：（1）如图，取PC中点E，连DE.∵PD＝DC，∴DE⊥PC.又∵BC⊥DC，BC⊥PD，　∴BC⊥平面PDC，则面BPC⊥面PDC，∴DE⊥面PBC.过E作EF⊥PB于F，连DF，则由三垂线定理有DF⊥PB.∴∠DFE＝θ为二面角D－PB－C的平面角.

设PD＝DC＝1，则BC＝，DE＝，PC＝.又∵在Rt△DEF中，tanθ=

∴二面角D－PB－C的正切值为

（2）AD∶BC＝1∶2时，平面PAB⊥平面PBC.

设PD＝1，时，平面PAB⊥平面PBC，则DC＝1，BC＝PC＝，AD＝x.

过A作AG⊥PB于G点，∵平面PAB⊥平面PBC，∴AG⊥面PBC，又∵DE⊥面PBC（已证），∴AG∥DE，而AD∥BC，∴AD∥面PBC，故AD∥GE，进而有GE∥BC，又E为PC中点，∴G为PB中点，故GE＝.

即　.

∴当平面PAB⊥平面PBC时，