Question

如图，已知曲线C：，C_n：（n∈N^*）．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再过点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1）设，x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n -y_n+1．
（1）求点Q₁、Q₂的坐标；
（2）求数列{a_n} 的通项公式；
（3）记数列{a_n•y_n+1} 的前n项和为S_n，求证s_n＜．

Answer 1

解：（1）∵Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），
∴点P_n的坐标为（x_n，y_n+1）
∴．-----------------------------------（2分）
（2）∵Q_n，Q_n+1在曲线C上，
∴，，
又∵P_n在曲线C_n上，
∴，--------------------------------（4分）
∴x_n+1=x_n+2^-n，
∴a_n=2^-n．-----------------------------------------（6分）
（3）x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁
=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1
=
=2-2^1-n．-------------------（9分）
∴a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）
=
=
=，
∵2•2ⁿ-2≥2ⁿ，2•2ⁿ-1≥3，
∴．--------------------------------（12分）
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
-----------------------（14分）
分析：（1）由Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），知点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），由此能求出点Q₁、Q₂的坐标．
（2）由Q_n，Q_n+1在曲线C上，知，，由P_n在曲线C_n上，知，由此能求出数列{a_n} 的通项公式．
（3）由x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1==2-2^1-n，知a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）===，由此入手能够证明s_n＜．
点评：本题考查点坐标的求法、求数列的通项公式、求证s_n＜．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．