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    已知点P与定点F的距离和它到定直线l: 的距离之比是1 : 2.

    (1)求点P的轨迹C方程;

    (2)过点F的直线交曲线C于A, B两点, A, B在l上的射影分别为M, N.

    求证AN与BM的公共点在x轴上.

    （1）（2）见解析


    解析:

    (1) 如图(1) 设P点的坐标为,

    则由题设得:,

    化简得: ,

       即即.

       ∴点P的轨迹C的方程是.

    (2) ①当AB轴时, A、B的坐标分别为, ,

    AN与BM的交点为在x轴上.

    ②当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为,

    代入椭圆,得

    设, , 则, ,

    且 ∵直线AN方程是,

     直线BM方程是.

    联列, 得, 消去y, 得: .

    即 即,

    把代入直线AN的方程

    得

     ∴AN与BM交于点是x轴上一定点.

    (2) 解法二: 如图(2) 当AB不垂直于x轴时,

    设AF＝n, 则AM＝2n, 设BF＝m, 则BN＝2m,

    在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH1∥BN,

    ∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH1

    ∴

    同理可推, ∴

    ,

    ∴,∴H与H1重合，∴AN与BM交点是x轴上一定点.

    练习册系列答案
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