Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求二面角A-BC-P的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证BG⊥平面PAD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BG与平面PAD内两相交直线垂直，而PG⊥BG，BG⊥AG，PG∩AD=G，满足定理条件；
（2）根据二面角平面角的定义可知∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，在三角形PBG中求出此角即可．

解答：（1）证明：
∵△PAD为正三角形，G为AD边的中点，∴PG⊥AD，
∵平面PAD垂直于底面ABCD，∴PG⊥底面ABCD，∴PG⊥BG
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=a
∴BG2=a2+

1

4

a2-2a•

1

2

a•cos60°=

3

4

a2，
∴△ABG为直角三角形，
且BG⊥AG，PG∩AD=G，∴BG⊥平面PAD
（2）解：由（1）知PG⊥底面ABCD，BG⊥AD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，PB⊥BC，
∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，
∵PG=

3

2

a，BG=

3

2

a，∴tan∠PBG=1，∴∠PBG=

π

4

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．