Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，，∥，．又，，直线AM与直线PC所成的角为．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

试题分析：方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）取BC的中点N，连MN．∵，∴，∴平面ABC．作

，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得，∴为二面角的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为，∴在中，．

在中，．

在中，．

在中，．

在中，∵，∴．

故二面角的余弦值为．13分

方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设，则．．   5分

∵，

且，∴，得，∴． 8分

设平面MAC的一个法向量为，则由得得∴． 10分

平面ABC的一个法向量为． 12分

显然，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．13分

考点：二面角的平面角，线线垂直

点评：解决的关键是借助于空间向量法或几何性质法来得到证明和求解，属于基础题。